Задача из 19 школы г. Королев от Ольги В. Улановой 22.11.2018 г.

Условие:

Некоторое количество газа занимает объём V₁= 10л, и находится под давлением p₁= 100 кПа при температуре T₁= 300 К. Затем газ был нагрет без изменения объёма до температуры T₂ = 320 К, а после этого нагрет при постоянном давлении до температуры T₃ = 350 К (рисунок). Найдите работу А, которую совершил газ, переходя из первоначального состояния 1 в состояние 3.

Рис.

Решение:

Заметим, что некоторое количество газа — т.е. $\nu$ — не определено.
Далее читаем условие: объём V = 10 литров; это $\frac{1}{100}$ м³, V = 0,01 м³( 1 л = $\frac{1}{1000}$ м³)
P₁ = 100 кПа = 100000 Па, при этом Т₁ = 300 °К.
Все выше перечисленное – начальные условия.
Первый шаг от начальных условий:
газ был нагрет до Т₂ = 320 °К
без изменения объёма (нет изменения объема – нет механической работы. Поскольку нет физического перемещения. Допустим, перемещения поршня двигателя)
$A=P\cdot \Delta V$ т.к. $\bigtriangleup V=0$ т.е. $A_{12}=0$
на участке 1 – 2 работа газа $A_{12}=0$ .
На участке 2 – 3 давление постоянно и равно Р₂ (см. график).
Следовательно работа равна $A_{23}=P_{2}\cdot \bigtriangleup V=P_{2}\cdot \left ( V_{3}-V_{2} \right )$ ‒ газ расширился и совершил механическую работу – переместил поршень).
Найдем увеличение давления на участке 1 – 2 (V – const)
$P\cdot V=\nu \cdot R\cdot T$ – уравнение Менделеева – Клапейрона
$\frac{P}{T}=\frac{\nu \cdot R}{V}$ ; $\frac{\nu \cdot R}{V}$ ‒ const – закон Шарля.
$\frac{P_{1}}{T_{1}}=\frac{P_{2}}{T_{2}}$ ; $P_{2}=\frac{T_{2}\cdot P_{1}}{T_{1}}$
$P_{2}=\frac{320\cdot 100000}{300}\approx 106666$ Па
Найдем изменения объема на участке 2 – 3.
Воспользуемся (еще раз) уравнением Менделеева – Клапейрона $P\cdot V=\nu \cdot R\cdot T$ .
(Знаем, что количество вещества не изменилось и давление постоянно).
$\frac{V}{T}=\frac{\nu \cdot R}{P}$ ‒ constВ этом процессе $\frac{V_{2}}{T_{2}}=\frac{V_{3}}{T_{3}}$ (вывели закон Гей-Люссака).(V₁ = V₂ = 0,01 м³ из первого процесса).
Найдем V₃
$V_{3}=\frac{T_{3}\cdot V_{2}}{T_{2}}$ ; $V_{3}=\frac{350\cdot 0,01}{320}=0,0109375$ м³
$\Delta V_{23}=V_{3}-V_{2}=0,0109375-0,01=0,0009375$ м³
А₂₃= (работа газа при расширении)=
= $P_{2}\cdot \Delta V_{23}=106666\cdot 0,0009375=99,199$ Дж $\approx 99,\left ( 9 \right )$ Дж

Ответ: ≈100 Дж