Источник: М. Ю. Демидова 30 вариантов ЕГЭ 2018.
Вариант 28 № 29
Тело, свободно падающее с некоторой высоты из состояния покоя, за время τ = 1 с после начал движения проходит путь в n = 5 раз меньший, чем за такой же промежуток времени в конце движения. Найдите полное время движения.
Решение
Для решения задачи необходимо найти пройденное расстояние за первую секунду, поскольку в условии задачи присутствует слово «за первую секунду». Найдем таковое. За 1-ю секунду (t1=1 сек):
Помним, что первое уравнение движения имеет вид
(смотри ссылку).
Затем найдем расстояние, которое пойдет (пролетит) тело за последнюю секунду. Для этого необходимо представить себе то расстояние, которое прошло тело за секунду до окончания движения. Представим себе, что тело падало — допустим — X секунд до удара о землю. Нам необходимо найти расстояние, которое пройдет тело за последнюю секунду. Все секунды падения – X (сек).
Введем обозначения:
hx – расстояние, пройденное за x секунд,
hx-1 – расстояние, пройденное за x-1 секунд.
И время t – все время полета.
Например, расстояние, пройденное за третью секунду равняется разнице расстояний, пройденных телом за третью и вторую секунду. Запишем это математически:
, где t = 3 секунды (в рамках выше предложенного предположения о трех секундах).
hпосл сек=gt2-gt2-2t+122
(мы воспользовались формулой сокращенного умножения)
(напомним формулу квадрата разницы:
а-в2=a2-2aв+в2
)
Раскроем скобки и упростим выражение:
hпосл сек=gt2-gt2+2gt-g2=2gt-g2=gt-g2
(1)
Еще раз обратимся к условию.
За последнюю секунду тело прошло расстояние в n=5 раз больше, чем за первую секунду.
hпосл сек=nh1 сек
Перепишем формулу (1) в виде:
gt-g2=ngt122
(Примем поскольку в условии не указано иное g=10
мс2
)
Расчетная формула:
t=ngt122+g2g=nt122+12 t=5·12+0,5=3 сек
Ответ: 3 секунды